百鸡问题
更新时间：2010-03-17 15:02:34
中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱。现在用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z只，由题意得：
x＋y＋z＝100①
5x+3y+ z=100②
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
②×3-①得：7x＋4y＝100，因此
y=1007 x=25 由于 y表示母鸡的只数，它一定是自然数，而4与7互质，因此 x必须是4的倍数。我们把它写成：x＝4k（k是自然数），于是 y＝25-7k，代入原方程组，可得：z＝75＋3k。把它们写在一起有：
x=4k
y=25-7k
z=75+3k
一般情况下，当 k取不同数值时，可得到 x、y、z的许多组值。但针对本题的具体问题，由于 x、y、z都是100以内的自然数，故 k只能取1、2、
3三个值，这样方程组只有以下三组解：
x=4 y=18 z=78
x=8 y=11 z=81
x=12 y=4 z=84
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